Question

7．已知函數f（x）=（2x-3）e^x+$\frac{a}{x}$有三個零點，則實數a的取值范圍是-9${e}^{-\frac{3}{2}}$＜a＜0．

Answer 1

分析 由f（x）=（2x-3）e^x+$\frac{a}{x}$=0，可得a=x（3-2x）e^x，令y=x（3-2x）e^x，則y′=-（x-1）（2x+3）e^x，取得函數的單調性，求出函數的極值，即可得出結論．

解答 解：由f（x）=（2x-3）e^x+$\frac{a}{x}$=0，可得a=x（3-2x）e^x，（x≠0）
令y=x（3-2x）e^x，則y′=-（x-1）（2x+3）e^x，
∴x＜-$\frac{3}{2}$或x＞1時，y′＜0，函數單調遞減，-$\frac{3}{2}$＜x＜0或0＜x＜1時，y′＞0，函數單調遞增，
∴x=-$\frac{3}{2}$時，函數取得極小值-9${e}^{-\frac{3}{2}}$，x=1時，函數取得極大值e，
∵f（x）=（2x-3）e^x+$\frac{a}{x}$有三個零點，當x趨于負無窮的時候y是趨于零的
∴-9${e}^{-\frac{3}{2}}$＜a＜0，
故答案為-9${e}^{-\frac{3}{2}}$＜a＜0．

點評 本題考查函數的零點，考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確分離變量是關鍵．