Question

如圖，過△ABC的重心G作直線分別交邊AB、AC于點P、Q，已知=h,=k,△APQ和△ABC的面積分別為S、T.

    (1)求+的值；

    (2)證明≤≤.

   

Answer 1

(1)解：連結AG并延長交BC于M，則M為BC中點，∴=(+),

    ==(+).                      ①

    設G分PQ所成比為t∶(1-t),

    則=(1-t)+t,而=h·,=k·,

    ∴=(1-t)h·+tk·.                     ②

    由①②得(1-t)h=,tk=,

    即=3(1-t),=3t,

    ∴+=3.

    (2)證明：∵∠PAQ=∠BAC,

    ∴===hk.

    由(1)知k=＞0,3h-1＞0,

    ∴=.

    又-=-=,

    -=-=.

    又0＜h≤1,0＜k≤1,

    ∴1-k=1-=.

    ∴≤h≤1.

    ∴≥,≤.

    ∴S≤T≤S,即≤≤.