Question

已知函數y=kx與y=x²+2（x≥0）的圖象相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l₁，l₂分別是y=x²+2（x≥0）的圖象在A，B兩點的切線，M，N分別是l₁，l₂與x軸的交點．
（I）求k的取值范圍；
（II）設t為點M的橫坐標，當x₁＜x₂時，寫出t以x₁為自變量的函數式，并求其定義域和值域；
（III）試比較|OM|與|ON|的大小，并說明理由（O是坐標原點）．

Answer 1

（I）由方程

y=kx y=x2+2

消y得x²-kx+2=0．①
依題意，該方程有兩個正實根，
故

△=k2-8＞0 x1+x2=k＞0

解得k＞2

2

．
（II）由f′（x）=2x，求得切線l₁的方程為y=2x₁（x-x₁）+y₁，
由y₁=x₁²+2，并令y=0，得t=

x1

2

-

1

x1

，x₁，x₂是方程①的兩實根，
且x₁＜x₂，故x₁=

k- k2-8

2

=

4

k+ k2-8

，k＞2

2

，
x₁是關于k的減函數，所以x₁的取值范圍是(0，

2

)．
t是關于x₁的增函數，定義域為(0，

2

)，所以值域為（-∞，0）．
（III）當x₁＜x₂時，由（II）可知|OM|=|t|=-

x1

2

+

1

x1

．
類似可得|ON|=

x2

2

-

1

x2

．|OM|-|ON|=-

x1+x2

2

+

x1+x2

x1x2

．
由①可知x₁x₂=2．
從而|OM|-|ON|=0．
當x₂＜x₁時，有相同的結果|OM|-|ON|=0．
所以|OM|=|ON|．