Question

設數列{a_n}，{b_n}的各項均為正數，若對任意的正整數n，都有a_n，b_n²，a_n+1成等差數列，且b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比數列．
（Ⅰ）求證數列{b_n}是等差數列；
（Ⅱ）如果a₁=1，b₁=

2

，比較2ⁿ與2a_n的大小．

Answer 1

（Ⅰ）由題意，得2b_n²=a_n+a_n+1，①
a_n+1²=b_n²b_n+1²，②（1分）
因為a_n＞0，b_n＞0，所以由式②得a_n+1=b_nb_n+1，
從而當n≥2時，a_n=b_n-1b_n，
代入式①得2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1，（3分）
故當n≥2時，2b_n=b_n-1+b_n+1（n≥2），
∴數列b_n是等差數列．（4分）
（II）由a1=1，b1=

2

及式①、②易得a2=3，b2=

3

2

2

，
因此b_n 的公差  d=

2

2

，
從而bn=b1+(n-1)d=

2

2

(n+1)，（5分）
得an+1=

1

2

(n+1)(n+2)，
所以當n≥2時，an=

n(n+1)

2

，③
又a₁=1也適合式③，
∴an=

n(n+1)

2

(n∈N+)．（6分）
設P=2ⁿ，Q=2n-n（n+1），
當n=1時，P=Q，當n=2，3，4時，P＜Q
當n=5時，P＞Q，當n=6時，P＞Q
由此猜想當n≥5時，P＞Q（8分）
以下用數學歸納法證明．
（1）當N=5時，P＞Q顯然成立，（9分）
（2）假設當n=k（k≥5）時，
P＞Q成立，即2ⁿ＞k（k+1）-k²+k成立，
則當n=k+1時，P=2^K+1=2•2^k＞2k²+2k
=（k²+2k+1）+（k+1）+（k²-k-2）=（k+1）²+（k+1）+（k+1）（k-2）
∵k≥5，∴（k+1）（k-2）＞0即P=2^k+1＞（k+1）²+（k+1）成立．
故當n=k+1時，P＞Q成立．
由（1）、（2）得，當n≥5時，
P＞Q成立．（11分）
因此，當n=1時，2ⁿ=2a_n，
當n=2，3，4時，2ⁿ＜2a_n，
當n≥5時，2ⁿ＞2a_n．（12分）