Question

（1）設f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c、d是常數．如果f（1）=10，f（2）=20，f（3）=30，求f（10）+f（-6）的值；
（2）若不等式2x-1＞m（x²-1）對滿足-2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=10，f（2）=20，f（3）=30，可構造函數g（x）=f（x）-10x，易得1，2，3為方程f（x）-10x=0的三個根，而四次方程最多可由四個根，則可設方程f（x）-10x=0的另一根為m，進而得到f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m）+10x，代入可求出f（10）+f（-6）的值；
（2）不等式2x-1＞m（x²-1）對滿足-2≤m≤2的所有m都成立，可化為函數f（m）=（x²-1）m-（2x-1）＞0恒成立，結合一次函數的圖象和性質，構造不等式組可求x的取值范圍．

解答：解：（1）構造函數g（x）=f（x）-10x，則g（1）=g（2）=g（3）=0，
即1，2，3為方程f（x）-10x=0的三個根
∵方程f（x）-10x=0有四個根，
故可設方程f（x）-10x=0的另一根為m
則方程f（x）-10x=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m）
∴f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m）+10x
故：f（10）+f（-6）
=（10-1）（10-2）（10-3）（10-m）+100+（-6-1）（-6-2）（-6-3）（-6-m）-60
=8104．
（2）原不等式可化為（x²-1）m-（2x-1）＜0，
構造函數f（m）=（x²-1）m-（2x-1）（-2≤m≤2），
其圖象是一條線段．
根據題意，只須：

f(-2)=-2(x2-1)-(2x-1)＜0 f(2)=2(x2-1)-(2x-1)＜0

即

2x2+2x-3＞0 2x2-2x-1＜0

解得

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

．

點評：本題考查的知識點是函數解析式的求法，函數的值，一元二次不等式的應用，函數恒成立問題，（1）的關鍵是構造出函數f（x）的解析式，（2）的關鍵是將問題轉化為函數恒成立問題．