Question

某廣場二雕塑造型結構如圖所示，最上層是呈水平狀態的圓環且圓心為O，其半徑為2m，通過金厲桿BC，CA₁，CA₂，…，CA_n支撐在地面B處（BC垂直于水平面）．A₁，A₂，A₃，…，A_n是圓環上的n等分點，圓環所在的水平面距地面1Om，設金屬桿CA₁，CA₂，…，CA_n所在直線與圓環所在水平面所成的角都為θ（圓環及金厲桿均不計粗細）
（1）當θ為60°且n=3時，求金厲桿BC，CA₁，CA₂，CA₃的總長？
（2）當θ變化，n一定時，為美觀與安全起見，要求金屬桿BC，CA₁，CA₂，…，CA_n的總長最短，此時θ的正弦值是多少？并由此說明n越大，C點的位置將會上移還是下移．

Answer 1

【答案】分析：（1）先畫出圖形，然后分別求出金厲桿BC，CA₁，CA₂，CA₃的長，從而可求出所求；
（2）設金屬桿總長為ym，然后表示出y關于θ的函數，最后利用導數研究該函數的最值，即可求出所求．
解答：解：（1）當θ=60°且n=3時（如圖），CA₁=CA₂=CA₃=4，OC=2
所以BC+CA₁+CA₂+CA₃=12+10-2=22-2（m）
（2）∵金屬桿CA₁，CA₂，…，CA_n所在直線與圓環所在水平面所成的角都為θ
∴∠CA₁O=∠CA₂O=∠CA₃O=…=∠CA_nO=θ
CA₁=CA₂=CA₃=…=CA_n=，CO=2tanθ
設金屬桿總長為ym，則
y=+10-2tanθ=+10（0＜θ＜）
y′=，當0＜sinθ＜時，y′＜0，當＜sinθ＜1時，y′＞0
所以當sinθ=時，函數有極小值，也是最小值；
此時sinθ=，n越大，sinθ越小，因為θ是銳角，所以θ也越小，因此C點上移了．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的最值，以及實際問題中導數的意義，同時考查了運算求解的能力和計算能力，屬于中檔題．