Question

已知函數f（x）=ax³-bx²+9x+2，若f（x）在x=1處的切線方程為3x+y-6．
（1）求f（x）的解析式及單調區間；
（2）若對任意的x∈[

1

4

，2]都有f（x）≥t²-2t-1成立，求函數g（x）≥t²+t-2的最值．

Answer 1

分析：（1）先求導數f'（x）＜0，以及導數的幾何意義知在x=1處的導數等于切線的斜率，切點在函數f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可求出函數f（x）的解析式．再根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間．
（2）先由（1）可f（x）的極大值，及f（x）[

1

4

，2]上的最小值2，f（x）≥t²-2t-1，x∈[

1

4

，2]上恒成立，求得t的取值范圍，最后利用二次函數在某區間上的最值問題，求得g（t）最值．

解答：解：由已知得切點（1，3），f′（x）=3ax²-2bx+9
（1）由題意可

f(1)=a-b+9+2=3 f′(1)=3a-2b+9=-3

，
解得

a=4 b=12

f（x）=4x³-12x²+9x+2，f′（x）=12x²-24x+9，
f′（x）=0得x=

1

2

或

3

2

，f′（x）＞0，得x＞

3

2

x＜

1

2

，
f′（x）＜0

1

2

＜x＜

3

2

，f（x）的單調增區間（

3

2

，+∞），（-∞，

1

2

），
f（x）的單調減區間（

1

2

，

3

2

）．

（2）由（1）可知，f（x）的極小值f（

3

2

）=2，
f（

1

4

）=

57

16

，f（2）=4，
∴f（x）[

1

4

，2]上的最小值2，
f（x）≥t²-2t-1x∈[

1

4

，2]上恒成立，t²-2t-1≤2，t²-2t-3≤0，
解-1≤t≤3，g（x）=t²+t-2，
故t=

1

2

時g（t）最小值-

9

4

，t=3時g（t）最大值為10．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及導數在最大值、最小值問題中的應用等基礎題知識，考查學生利用導數研究函數單調性的能力．利用導數研究函數極值的能力，函數恒成立的條件．