Question

已知拋物線的焦點以及橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上．

（1）求拋物線和橢圓的標準方程；

（2）過點的直線交拋物線于兩不同點，交軸于點，已知，求的值；

（3）直線交橢圓于兩不同點，在軸的射影分別為，，若點滿足，證明：點在橢圓上．

 

Answer 1

【答案】

（1）拋物線，．（2）-1.（3）求出點S的坐標，然后代入橢圓方程即可證明

【解析】

試題分析：（1）由拋物線的焦點在圓上得：，，∴拋物線                 2分

同理由橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上可解得：．得橢圓．                         4分

（2）設直線的方程為，則．

聯立方程組，消去得：

且                5分

由得：

整理得：

．      8分

（3）設，則

由得；① ；②

；③                        11分

由①+②+③得

∴滿足橢圓的方程，命題得證．      13分

考點：本題考查了拋物線、橢圓的綜合運用

點評：解答圓錐曲線問題時，應根據其幾何特征熟練的轉化為數量關系（如方程、函數），再結合代數方法解答，這就要學生在解決問題時要充分利用數形結合、設而不求、弦長公式及韋達定理綜合思考，重視對稱思想、函數與方程思想、等價轉化思想的應用。