Question

設函數f（x）=x³-ax²+3x+b，a，b是實常數，其圖象在點（1，f（1））處的切線平行于x軸．
（1）求a的值；
（2）若對任意x∈[-1，4]，都有f（x）＞f′（x）成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用圖象在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，可得f′（1）=0，從而可求a的值；
（2）對任意x∈[-1，4]，都有f（x）＞f′（x）成立，等價于b＞-x³+6x²-9x+3在[-1，4]上恒成立，利用導數法求出右邊函數的最大值，即可求b的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數可得f′（x）=3x²-2ax+3，∴f′（1）=6-2a
∵圖象在點（1，f（1））處的切線平行于x軸
∴f′（1）=0
∴6-2a=0，∴a=3；
（2）對任意x∈[-1，4]，都有f（x）＞f′（x）成立，等價于b＞-x³+6x²-9x+3在[-1，4]上恒成立；
令g（x）=-x³+6x²-9x+3，x∈[-1，4]，只要b＞g_max（x）
∵g′（x）=-3x²+12x-9
令g′（x）＞0，可得1＜x＜3，令g′（x）＜0，可得x＜1，或x＞3
∴函數在（1，3）上單調增，在（-∞，1），（3，+∞）上單調減
∴x=3時，函數取得極大值為g（3）=3
∵g（-1）=19，g（4）=-1
∴g（x）在[-1，4]上的最大值為19
∴b＞19

點評：本題重點考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查函數的最值，同時考查學生分析解決問題的能力．