Question

已知過A（1，a）作函數y=x²ⁿ⁺¹（n∈N^*）圖象的切線有三條，則實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：設切點為（s，t），則t=s²ⁿ⁺¹，y′=f'（s）=（2n+1）s²ⁿ．可得切線方程為y-s²ⁿ⁺¹=（2n+1）s²ⁿ（x-s），
由于切線過點A（1，a），可得a-s²ⁿ⁺¹=（2n+1）s²ⁿ（1-s），化為a=（2n+1）s²ⁿ-2ns²ⁿ⁺¹，
令f（s）=（2n+1）s²ⁿ-2ns²ⁿ⁺¹．過A（1，a）作函數y=x²ⁿ⁺¹（n∈N^*）圖象的切線有三條，?y=a與函數f（s）的圖象有三個交點．
解得f（s）_極小值＜a＜f（s）_極大值即可．

解答：解：y′=f'（x）=（2n+1）x²ⁿ．
設切點為（s，t），則t=s²ⁿ⁺¹，f'（s）=（2n+1）s²ⁿ．
∴切線方程為y-s²ⁿ⁺¹=（2n+1）s²ⁿ（x-s），
∵切線過點A（1，a），∴a-s²ⁿ⁺¹=（2n+1）s²ⁿ（1-s），
化為a=（2n+1）s²ⁿ-2ns²ⁿ⁺¹，
令f（s）=（2n+1）s²ⁿ-2ns²ⁿ⁺¹，
則f′（s）=2n（2n+1）s^2n-1（1-s）．
由f′（s）＞0，解得0＜s＜1，此時函數f（s）單調遞增；
由f′（s）＜0，解得1＜s或s＜0，此時函數f（s）單調遞減．
由此可知：當s=0時，函數f（s）取得極小值；
當s=1時，函數f（s）取得極大值．
∵過A（1，a）作函數y=x²ⁿ⁺¹（n∈N^*）圖象的切線有三條，?y=a與函數f（s）的圖象有三個交點．
∴f（0）＜a＜f（1），解得0＜a＜1．
故答案為：（0，1）．

點評：本題考查了曲線的切線方程、函數零點與函數圖象交點的個數之間的關系等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．