Question

已知函數f（x）=x²+bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線斜率為3，數列{

1

f(n)

}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₄的值為（　　）

• A．

  2012

  2013

• B．

  2013

  2014

• C．

  2014

  2015

• D．

  2015

  2016

Answer 1

分析：可得f′（1）=2+b=3，解得b=1，進而可得f（x），然后由裂項相消法求和可得．

解答：解：函數的導數f′（x）=2x+b，
∵點A（1，f（1））處的切線的斜率為3，
∴f′（1）=2+b=3，解得b=1．
∴f（x）=x²+x=x（x+1），
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₂₀₁₄=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2014

-

1

2015

）
=1-

1

2015

=

2014

2015

故選C

點評：本題考查數列的求和，涉及導數和曲線某點切線的斜率以及裂項相消法求和，屬中檔題．