Question

設拋物線y²=4x的一條弦AB以點P（1，1）為中點，則弦AB的長為

15

．

Answer 1

分析：設出A，B坐標，分別代入拋物線方程，兩式相減整理，利用中點的縱坐標求得直線AB的斜率，從而得出直線AB的方程，最后聯立方程組求解即可．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代入拋物線方程得y₁²=4x₁，①，y₂²=4x₂，②，
①-②整理得k=

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=2，
故AB的方程為：y-1=2（x-1），即y=2x-1，代入拋物線y²=4x的方程得：
4x²-8x+1=0，
則x₁+x₂=2，x₁x₂=

1

4

，
則|AB|=

(1+k2)[(

x1+x2)2-4x1x2]=

5(22-4× 1 4 )

=

15

．
故答案為：

15

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系．涉及曲線弦的中點和斜率時，一般可采用點差法，設出交點的坐標代入曲線方程，相減后整理出直線斜率與中點坐標的關系．