Question

設F₁、F₂是雙曲線x2-

y2

4

=1的左、右兩個焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使(

OP

+

OF2

)  •

F2P

=0（O為坐標原點）且|PF₁|=λ|PF₂|，則λ的值為（　�。�

• A、2
• B、

  1

  2

• C、3
• D、

  1

  3

Answer 1

分析：設點P（

1+ m2 4

，m），由 (

OP

+

OF2

)  •

F2P

=0解出 m，根據雙曲線的第二定義得e=

5

=

|PF2|

1+ m2 4 - 1 5

，求出|PF₂|的值，再利用第一定義求出|PF₁|的值，即得λ值．

解答：解：由題意得   a=1，b=2，∴c=

5

，F₁（-

5

，0），F₂ （

5

，0），e=

5

．
設點P（

1+ m2 4

，m），∵(

OP

+

OF2

)  •

F2P

=（

1+ m2 4

+

5

，m）•（

1+ m2 4

-

5

，m）
=1+

m2

4

-5+m²=0，m²=

16

5

，m=±

4 5

5

．
由雙曲線的第二定義得 e=

5

=

|PF2|

1+ m2 4 - 1 5

，∴|PF₂|=2，
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=4，∴λ=

|PF1|

|PF2|

=

4

2

=2，
故選A．

點評：本題考查兩個向量坐標形式的運算，雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用．