Question

如圖所示，四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，側棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA₁＝AB＝2，E為棱AA₁的中點．

(1)證明：B₁C₁⊥CE；

(2)設點M在線段C₁E上，且直線AM與平面ADD₁A₁所成角的正弦值為.求線段AM的長．

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】

試題分析：以點A為原點建立空間直角坐標系，(1)求出，，于是，所以；

（2）設，有.因為平面，可取為平面的一個法向量，則與的夾角的余弦值的絕對值即為直線與平面夾角的正弦值，由題目知這個正弦值為，即可列出一關于的方程，解方程求出的值，最后求出線段的長.

試題解析：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，

依題意得，，，，，

（1）證明：易得，，于是，所以.

（2）,=(1,1,1). 設,0≤≤1，有

. 因為平面，可取為平面的一個法向量.

設為直線與平面所成的角，則

==.

于是=，解得，所以.

考點：1.空間中兩直線的位置關系；（2）用空間向量解決立體幾何問題.