Question

已知函數f（x）=x-alnx+

b

x

在x=1處取得極值．
（I）求a與b滿足的關系式；
（II）若a∈R，求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f^′（1）=0即可求得a與b的關系．
（Ⅱ）先求導得f^′（x）=

(x-1)[x-(a-1)]

x2

，然后對參數a分a＞2，a=2，a＜2討論即可．

解答：解：（Ⅰ）f^′（x）=1-

a

x

-

b

x2

，
∵函數f（x）=x-alnx+

b

x

在x=1處取得極值，∴f^′（1）=0，∴1-a-b=0，即b=1-a．
（Ⅱ）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
由（Ⅰ）可得f^′（x）=1-

a

x

-

1-a

x2

=

x2-ax-(1-a)

x2

=

(x-1)[x-(a-1)]

x2

．
令f^′（x）=0，則x₁=1，x₂=a-1．
①當a＞2時，x₂＞x₁，當x∈（0，1）∪（a-1，+∞）時，f^′（x）＞0；當x∈（1，a-1）時，f^′（x）＜0．
∴f（x）的單調遞增區間為（0，1），（a-1，+∞）；單調遞減區間為（1，a-1）．
②當a=2時，f^′（x）≥0，且只有x=1時為0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
③當a＜2時，x₂＜x₁，當x∈（0，1-a）∪（1，+∞）時，f^′（x）＞0；當x∈（1-a，1）時，f^′（x）＜0．
∴f（x）的單調遞增區間為（0，1-a），（1，+∞）；單調遞減區間為（a-1，1）．

點評：本題考查了含有參數的函數的單調性，對參數恰當分類討論是解決問題的關鍵．