Question

已知函數f（x）=1-

x

alnx

（a＞0）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）設a＞1，在區間[a，2a]上f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數恒成立問題,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的定義域，求出導數，令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間；
（2）運用參數分離，得在區間[a，2a]上f（x）＜0恒成立，即為a＜

x

lnx

在區間[a，2a]上恒成立，只要求出右邊的最小值即可．令g（x）=

x

lnx

，求出導數，求出單調區間，討論若2a≤e，若a≤e＜2a，若a＞e，判斷單調性，求出最小值，注意檢驗，最后求并集即可．

解答： 解：（1）函數f（x）=1-

x

alnx

（a＞0）的定義域為（0，1）∪（1，+∞）．
導數為f′（x）=-

alnx-a

(alnx)2

=

a(1-lnx)

(alnx)2

，
由f′（x）＞0，解得，0＜x＜e，且x≠1，
由f′（x）＜0，解得，x＞e，
則f（x）的增區間為（0，1），（1，e），減區間為（e，+∞）；
（2）在區間[a，2a]上f（x）＜0恒成立，即為
a＜

x

lnx

在區間[a，2a]上恒成立．
令g（x）=

x

lnx

，g′（x）=

lnx-1

(lnx)2

，
當x＞e時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當0＜x＜1或1＜x＜e時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
若2a≤e，則[a，2a]遞減，即有g（2a）最小，且為

2a

ln(2a)

，
由a＜

2a

ln(2a)

，解得，a＜

e2

2

，即有1＜a≤

e

2

；
若a≤e＜2a，即有a=e取得極小值，也為最小值，且為e，
即有a＜e，則有

e

2

＜a＜e；
若a＞e，則[a，2a]為增區間，則g（a）最小，且為

a

lna

，
由a＜

a

lna

，解得0＜a＜e，則a無解．
綜上可得，1＜a＜e．
則有a的取值范圍是（1，e）．

點評：本題考查導數的運用：求單調區間和求極值、最值，考查函數的單調性的運用：求最值，考查分類討論的思想方法，以及參數分離方法，考查化簡運算能力，屬于中檔題和易錯題．