Question

已知函數f(x)=lnx-x，h(x)=

lnx

x

．
（1）求h（x）的最大值；
（2）若關于x的不等式xf（x）≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用導數的正負，即可確定函數的單調區間，從而可求h（x）的最大值；
（2）xf（x）≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，等價于xlnx-x²≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，分離參數，求出函數的最值，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）因為h(x)=

lnx

x

，(x＞0)，所以h′(x)=

1-lnx

x2

，…（2分）
由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，…（4分）
所以函數h（x）的單調增區間是（0，e]，單調減區間是[e，+∞），
所以當x=e時，h（x）取得最大值

1

e

；…（6分）
（2）因為xf（x）≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，
即xlnx-x²≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，
亦即a≤lnx+x+

12

x

對一切x∈（0，+∞）恒成立，…（8分）
設?(x)=lnx+x+

12

x

，因為?′(x)=

x2+x-12

x2

=

(x-3)(x+4)

x2

，
故?（x）在（0，3]上遞減，在[3，+∞）上遞增，?（x）_min=?（3）=7+ln3，
所以a≤7+ln3．  …（10分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．