Question

偶函數f（x）在[0，+∞）上為增函數，若不等式f（ax-1）＜f（2+x²）恒成立，則實數a的取值范圍為（　　）

• A．(-2

  3

  ，2)
• B．（-2，2）
• C．(-2

  3

  ，2

  3

  )
• D．(-2，2

  3

  )

Answer 1

分析：根據偶函數圖象關于y軸對稱，得f（x）在[0，+∞）上單調增且在（-∞，0]上是單調減函數，由此結合2+x²是正數，將原不等式轉化為|ax-1|＜2+x²恒成立，去絕對值再用一元二次不等式恒成立的方法進行處理，即得實數a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）是偶函數，圖象關于y軸對稱．
∴f（x）在[0，+∞）上的單調性與的單調性相反，可得f（x）在（-∞，0]上是減函數．
∴不等式f（ax-1）＜f（2+x²）恒成立，等價于|ax-1|＜2+x²恒成立
即不等式-2-x²＜ax-1＜2+x²恒成立，得

x2+ax+1＞0 x2-ax+3＞0

的解集為R
∴結合一元二次方程根的判別式，得：a²-4＜0且（-a）²-12＜0
解之得-2＜a＜2
故選：B

點評：本題給出偶函數的單調性，叫我們討論關于x的不等式恒成立的問題，著重考查了函數的單調性與奇偶性、一元二次不等式解法等知識，屬于基礎題．