Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E是棱PD的中點，點F是PC的中點F．

（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）若ABCD為正方形，探究在什么條件下，二面角C﹣AF﹣D大小為60°？

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD，設AC∩BD=O，連結OE，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴O是BD的中點，

∵點E是棱PD的中點，

∴PB∥EO，

又PB平面AEC，EO平面AEC，

∴PB∥平面AEC．

（2）解：由題意知AD，AB，AP兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系A﹣xyz，

設AB=2a，AD=2b，AP=2c，

則A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），D（0，2b，0），P（0，0，2c）．

設AC∩BD=O，連結OE，則O（a，b，0），E（0，b，c）．

因為 ， ，

所以 ，所以 ∥ ，a=b，A（0，0，0），B（2a，0，0），

C（2a，2a，0），D（0，2a，0），P（0，0，2c），E（0，a，c），F（a，a，c），

因為z軸平面CAF，所以設平面CAF的一個法向量為 =（x，1，0），

而 ，所以 =2ax+2a=0，得x=﹣1，所以 =（﹣1，1，0）．

因為y軸平面DAF，所以設平面DAF的一個法向量為 =（1，0，z），

而 ，所以 =a+cz=0，得 ，

所以 =（1，0，﹣ ）∥ =（c，0，﹣a）．

cos60°= = ，得a=c．

即當AP等于正方形ABCD的邊長時，二面角C﹣AF﹣D的大小為60°．

【解析】（1）連接BD，設AC∩BD=O，連結OE，則PB∥EO，由此能證明PB∥平面AEC．（2）由題意知AD，AB，AP兩兩垂直，建立空間直角坐標系A﹣xyz，利用向量法能求出當AP等于正方形ABCD的邊長時，二面角C﹣AF﹣D的大小為60°．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．