Question

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線y=x2+mx﹣2與x軸交于A、B兩點，點C的坐標為（0，1），當m變化時，解答下列問題：（12分）
（1）能否出現AC⊥BC的情況？說明理由；
（2）證明過A、B、C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：曲線y=x2+mx﹣2與x軸交于A、B兩點，

可設A（x1，0），B（x2，0），

由韋達定理可得x1x2=﹣2，

若AC⊥BC，則kACkBC=﹣1，

即有 =﹣1，

即為x1x2=﹣1這與x1x2=﹣2矛盾，

故不出現AC⊥BC的情況；

（2）

證明：設過A、B、C三點的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），

由題意可得y=0時，x2+Dx+F=0與x2+mx﹣2=0等價，

可得D=m，F=﹣2，

圓的方程即為x2+y2+mx+Ey﹣2=0，

由圓過C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1，

則圓的方程即為x2+y2+mx+y﹣2=0，

再令x=0，可得y2+y﹣2=0，

解得y=1或﹣2．

即有圓與y軸的交點為（0，1），（0，﹣2），

則過A、B、C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值3．

【解析】（1.）設曲線y=x2+mx﹣2與x軸交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），運用韋達定理，再假設AC⊥BC，運用直線的斜率之積為﹣1，即可判斷是否存在這樣的情況；
（2.）設過A、B、C三點的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由題意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圓在y軸的交點，進而得到弦長為定值．
【考點精析】本題主要考查了兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關系和圓的一般方程的相關知識點，需要掌握兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數；反之，如果它們的斜率互為負倒數，那么它們互相垂直；圓的一般方程的特點：(1)①x2和y2的系數相同，不等于0．②沒有xy這樣的二次項；(2)圓的一般方程中有三個特定的系數D、E、F，因之只要求出這三個系數，圓的方程就確定了；(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯才能正確解答此題．