Question

17．如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=9，D，E分別為AC、AB上的點，且DE∥BC，DE=4，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如圖2．
（1）求證：A₁C⊥平面BCDE；
（2）若M是A₁D的中點，求CM與平面A₁BE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出DE⊥AC，DE⊥A₁D，DE⊥CD，從而DE⊥A₁C．再由A₁C⊥CD，能證明A₁C⊥平面BCDE．
（2）以C為原點，CB為x軸，CD為y軸，CA₁為z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出CM與平面A₁BE所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC．
∴DE⊥A₁D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A₁DC．
∴DE⊥A₁C．
又∵A₁C⊥CD，
∴A₁C⊥平面BCDE．
解：（2）以C為原點，CB為x軸，CD為y軸，CA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
C（0，0，0），A₁（0，0，3$\sqrt{3}$），D（0，3，0），M（0，$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），B（6，0，0），E（4，3，0），
$\overrightarrow{CM}$=（0，$\frac{3}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-6，0，3$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BE}$=（-2，3，0），
設平面A₁BE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-6x+3\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-2x+3y=0}\end{array}\right.$，取x=1，$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
設CM與平面A₁BE所成角為θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CM}|}$=$\frac{4}{3•\frac{5}{3}}$=$\frac{4}{5}$．
∴CM與平面A₁BE所成角的正弦值為$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查線面垂直，考查線面角，考查面面垂直，既有傳統方法，又有向量知識的運用，要加以體會．