Question

已知F₁，F₂分別為橢圓的左、右焦點，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于直線l₁，垂足為D，線段DF₂的垂直平分線交l₂于點M．
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F₁作直線交曲線C于兩個不同的點P和Q，設=λ，若λ∈[2，3]，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用中垂線的性質列方程，或者利用拋物線的定義寫方程．
（2）利用定比分點坐標公式及向量坐標運算公式
解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），則D（-1，y），由中垂線的性質知|MD|=|MF₂|
∴|x+1|=化簡得C的方程為y²=4x（3分）
（另：由|MD|=|MF₂|知曲線C是以x軸為對稱軸，以F₂為焦點，以l₁為準線的拋物線
所以，，則動點M的軌跡C的方程為y²=4x）
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由知①
又由P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在曲線C上知，②
由①②解得
所以有x₁x₂=1，y₁y₂=4（8分）
=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-x₁-x₂+1+y₁y₂=（10分）
設，有在區間[2，3]上是增函數，
得，進而有，
所以，的取值范圍是（13分）
點評：注意換元的思想，換元過程中特別注意變量范圍的改變．