Question

已知函數f（x）=ax²-4x-1．
（Ⅰ）若a=2時，求當x∈[0，3]時，函數f（x）的值域；
（Ⅱ）若a=2，當x∈（0，1）時，f（1-m）-f（2m-1）＜0恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）若a為非負數，且函數f（x）是區間[0，3]上的單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=2時，f（x）在[0，1]上單調遞減；在（1，3]上單調遞增，由此求得f（x）的值域．
（Ⅱ）由于f（x）在[0，1]上單調遞減，當x∈（0，1）時，f（1-m）-f（2m-1）＜0恒成立，可得

1-m＞2m-1 0＜1-m＜1 0＜2m-1＜1

，由此求得m的取值范圍．
（Ⅲ）①當a=0時，f（x）=-4x-1，滿足條件．②當a＞0時，f（x）=a(x-

2

a

)2-

4

a

-1，因為f（x）在[0 3]上的單調函數，可得

2 a ≤0 ，或 2 a ≥3 a＞0

，由此解得a的取值范圍．綜合①②求得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，函數f（x）=2x²-4x-1=2（x-1）²-3．
所以f（x）在[0，1]上單調遞減；在（1，3]上單調遞增．…（2分）
所以f（x）的最小值是f（1）=-3．…（3分）
又因為f（0）=-1，f（3）=5，所以f（x）的值域是[-3，5]．          …（4分）
（Ⅱ）因為a=2，所以由（Ⅰ）可知：f（x）在[0，1]上單調遞減．
因為當x∈（0，1）時，f（1-m）-f（2m-1）＜0恒成立，可得

1-m＞2m-1 0＜1-m＜1 0＜2m-1＜1

，…（7分） 解得 

1

2

＜m＜

2

3

．
所以m的取值范圍是（

1

2

，

2

3

）．       …（8分）
（Ⅲ）因為f（x）=ax²-4x-1，
①當a=0時，f（x）=-4x-1，所以f（x）在[0 3]上單調遞減．…（10分）
②當a＞0時，f（x）=a(x-

2

a

)2-

4

a

-1，
因為f（x）在[0 3]上的單調函數，可得

2 a ≤0 ，或 2 a ≥3 a＞0

，解得 0＜a≤

2

3

．   …（13分）
由①、②可知，a的取值范圍是[0

2

3

]．            …（14分）

點評：本題主要考查二次函數的性質，函數的恒成立問題，屬于中檔題．