Question

已知三棱錐O-ABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中OA=1，OB=2，OC=3，O，A，B，C四點(diǎn)均在球S的表面上，則球S的表面積為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)∠BOC=90°且OA⊥平面BOC，得到三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，以三條側(cè)棱為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，由圓的對(duì)稱性知長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)球上，長(zhǎng)方體的體積就是圓的直徑，求出直徑，得到圓的面積．

解答：解：∵∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，
∴三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，
∴可以以三條側(cè)棱為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，
由圓的對(duì)稱性知長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)球上，
∴球的直徑是

12+22+32

=

14

，
∴球的半徑是

14

2

∴球的表面積是 4π×(

14

2

)2=14π，
故答案為：14π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的體積與表面積，考查球與長(zhǎng)方體之間的關(guān)系，考查三棱錐與長(zhǎng)方體之間的關(guān)系，本題考查幾何中常用的一種叫補(bǔ)全圖形的方法來完成，考查空間想象能力．