Question

已知正項數列{a_n}的前n和為S_n，且

Sn

是

1

4

與（a_n+1）²的等比中項．
（1）求證：數列{a_n}是等差數列；
（2）若bn=

an

2n

，數列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）要證明數列{a_n}為等差數列，需證明a_n-a_n-1=d，由已知條件可得Sn=

1

4

•(an+1)  2， 利用an=Sn-Sn-1，(n≥2)
（2）由(1)可得an=2n-1，bn=

2n-1

2n

用錯位相減求和

解答：解：（1）由題意可知，Sn=

1

4

• (an+1) 2
當n≥2，an=Sn-Sn-1=

(an+1)2

4

-

(an-1+1)2

4

整理可得（a_n-1）²=（a_n-1+1）²=（a_n-1+1）²
∵a_n＞0∴a_n-a_n-1=2
n=1，由S1=

(a1+ 1) 2

4

解得a1=1
數列a_n以1為首項，以2為公差的等差數列
（2）由（1）可得a_n=1+2（n-1）=2n-1
∴bn=

an

2n

=

2n-1

2n

Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

①

1

2

T n=     

1

22

+ 

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2 1+n

②
①-②得 

1

2

Tn =

1

2

+2(

1

22

+ 

1

23

+…+ 

1

2n

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

∴Tn=3-

2n+3

2n

點評：本題重點考查利用遞推公式an=

S1       n=1 Sn-Sn-1，n≥2

轉化數列a_n+1與a_n的遞推關系、等差數列的證明及錯位相減求數列的和，求解的關鍵是要把握遞推公式的轉化．