Question

已知橢圓C₁:,拋物線C₂:,且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點(diǎn).

(Ⅰ)當(dāng)AB⊥軸時,求、的值，并判斷拋物線C₂的焦點(diǎn)是否在直線AB上；

(Ⅱ)是否存在、的值，使拋物線C₂的焦點(diǎn)恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的、的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）m＝0， .此時C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上.

（II）滿足條件的、存在，且或，．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱，所以m＝0，直線AB的方程為： x =1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，－）. 因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上.所以，即.此時C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上.

（II）： 假設(shè)存在、的值使的焦點(diǎn)恰在直線AB上，由（I）知直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為．

由消去得…①

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,  

則x₁,x₂是方程①的兩根，x₁＋x₂＝.

　　由　消去y得.         ………………②

因?yàn)镃₂的焦點(diǎn)在直線上，

所以，即.代入②有.

即.                     　　 …………………③

由于x₁,x₂也是方程③的兩根，所以x₁＋x₂＝.

從而＝. 解得　　　……………………④

又AB過C_1，C₂的焦點(diǎn)，所以

，

則   …………………………………⑤

由④、⑤式得，即．

解得于是

因?yàn)镃₂的焦點(diǎn)在直線上，所以.

　或．

由上知，滿足條件的、存在，且或，．

考點(diǎn)：本題主要考查直線方程，橢圓及拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系。

點(diǎn)評：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題解答過程中，主要運(yùn)用了拋物線的幾何性質(zhì)。結(jié)合拋物線的焦半徑公式，建立了k的方程。