Question

如圖，C點在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點，∠ACB平分線DC交AE于點F，交AB于D點．
（Ⅰ）求∠ADF的度數；
（Ⅱ）若AB=AC，求AC：BC．

Answer 1

分析：（I）根據AC為圓O的切線，結合弦切角定理，我們易得∠B=∠EAC，結合DC是∠ACB的平分線，根據三角形外角等于不相鄰兩個內角的和，我們易得∠ADF=∠AFD，進而結合直徑所對的圓周角為直角，求出∠ADF的度數；
（II）若AB=AC，結合（1）的結論，我們易得∠ACB=30°，根據頂角為120°的等腰三角形三邊之比為：1：1：

3

，易得答案．

解答：解：（I）∵AC為圓O的切線，
∴∠B=∠EAC
又知DC是∠ACB的平分線，
∴∠ACD=∠DCB
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD
即∠ADF=∠AFD
又因為BE為圓O的直徑，
∴∠DAE=90°
∴∠ADF=

1

2

(180°-∠DAE)=45°（4分）

（II）∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，
∴△ACE∽△ABC
∴

AC

BC

=

AE

AB

（6分）
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=30°，（8分）
∴在RT△ABE中，

AC

BC

=

AE

AB

=tan∠B=tan30°=

3

3

（10分）

點評：本題考查的知識點是圓周角定理，三角形外角定理，弦切角定理，相似三角形的證明及性質等，本題中未給出任何角的度數，故建立∠ADF必為特殊角，從而根據圖形分析角∠ADF的大小，進而尋出解答思路是解題的關鍵．