Question

某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿場售價與上市時間的關系如圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系如圖二的拋物線段表示．
（1）寫出圖一表示的市場售價與時間的函數關系式p=f（t）；寫出圖二表示的種植成本與時間的函數關系式Q=g（t）；
（2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？（注：市場售價各種植成本的單位：元/10²㎏，時間單位：天）

Answer 1

分析：（1）觀察圖一可知此函數是分段函數（0，200）和（200，300）的解析式不同，分別求出各段解析式即可；第二問觀察函數圖象可知此圖象是二次函數的圖象根據圖象中點的坐標求出即可．
（2）要求何時上市的西紅柿純收益最大，先用市場售價減去種植成本為純收益得到t時刻的純收益h（t）也是分段函數，分別求出各段函數的最大值并比較出最大即可．

解答：解：（1）由圖一可得市場售價與時間的函數關系為f(t)=

300-t，0≤t≤200 2t-300，200＜t≤300

（2分）
由圖二可得種植成本與時間的函數關系為g(t)=

1

200

(t-150)2+100，0≤t≤300．（4分）

（2）設t時刻的純收益為h（t），則由題意得h（t）=f（t）-g（t），
即h（t）=

- 1 200 t2+ 1 2 t+ 175 2 ，0≤t≤200 - 1 200 t2+ 7 2 t- 1025 2 ，200＜t≤300

（6分）
當0≤t≤200時，配方整理得h（t）=-

1

200

(t-50)2+100．
所以，當t=50時，h（t）取得區間[0，200]上的最大值100；
當200＜t≤300時，配方整理得h（t）=-

1

200

(t-350)2+100，
所以，當t=300時，h（t）取得區間（200，300）上的最大值87.5（10分）、
綜上，由100＞87.5可知，h（t）在區間[0，300]上可以取得最大值100，此時t=50，
即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大．（12分）

點評：本小題主要考查由函數圖象建立函數關系式和求函數最大值的問題，考查運用所學知識解決實際問題的能力．