Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n²=（2a_n+1）a_n+1（n∈N^*）．
（1）令bn=lg(1+

1

an

)(n∈N*)，求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）求證：

n

i=1

ai

1+ai

＜

7

8

．

Answer 1

分析：（1）利用等比數列的定義和對數的運算性質證明

bn+1

bn

為常數即可；
（2）由（1），利用等比數列的通項公式即可得出；
（3）通過二項式定理放縮，再利用等比數列的前n項和公式即可得出．

解答：（1）證明：∵

bn+1

bn

=

lg(1+ 1 an+1 )

lg(1+ 1 an )

=

lg(1+ 2an+1 a 2 n )

lg(1+ 1 an )

=

lg(1+ 1 an )2

lg(1+ 1 an )

=2，
∴數列{b_n}是以lg(1+

1

a1

)=lg2為首項，以2為公比的等比數列．

（2）由（1）知bn=lg(1+

1

an

)=2n-1lg2，即1+

1

an

=22n-1，故an=

1

22n-1-1

．
（3）由（2）得

ai

1+ai

=(

1

2

)2i-1，
∴

n

i=1

ai

1+ai

=

a1

1+a1

+

a2

1+a2

+…+

an

1+an

=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)22+…+(

1

2

)2n-1，
當n≥4時，2n-1=(1+1)n-1=1+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+…+

C

n-1 n-1

＞1+

C

1 n-1

+

C

n-1 n-1

=n+1，
即n≥4時，(

1

2

)2n-1＜(

1

2

)n+1，
故

n

i=1

ai

1+ai

＜

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)22+[(

1

2

)5+(

1

2

)6+…+(

1

2

)n+1]
=

1

2

+

1

4

+

1

16

+

( 1 2 )5[1-( 1 2 )n-3]

1- 1 2

=

7

8

-(

1

2

)n+1＜

7

8

．

∴

n

i=1

ai

1+ai

＜

7

8

．

點評：數列掌握等比數列的定義和通項公式、前n項和公式、對數的運算性質、二項式定理等是解題的關鍵．