Question

已知f（x）=x²+C，且f[f（x）]=f（x²+1）
（1）設g（x）=f[（x）]，求g（x）的解析式．
（2）設?（x）=g（x）-λf（x），試問是否存在實數λ，使?（x）在（-∞，-1）上是減函數，并且在（-1，0）上是增函數．

Answer 1

分析：（1）結合條件充分利用復合函數內函數的值域是外函數的定義域的特點整體代入，進而即可獲得一個多項式方程，利用對應系數相等即可獲得問題的解答；
（2）利用第一問的結論即可化簡函數?（x）=g（x）-λf（x），得：θ（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ，又因為實數λ，使?（x）在（-∞，-1）上是減函數，并且在（-1，0）上是增函數，所以導函數在-1處的函數值為零進而求得參數λ，注意最后驗證即可．

解答：解：（1）由題意可知：
f（x）=x²+C，且f[f（x）]=f（x²+1）
∴（x²+c）²+c=（x²+1）²+c
∴x⁴+2cx²+c²=x⁴+2x²+1
∴

2c=2 c2=1

，解得：c=1．
∴f（x）=x²+1，∵g（x）=f[（x）]，
∴函數g（x）的解析式為：g（x）=x⁴+2x²+2．
（2）由（1）可知：f（x）=x²+1、g（x）=x⁴+2x²+2，
∵?（x）=g（x）-λf（x），
∴θ（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ，∴θ′（x）=4x³+2（2-λ）x
假設存在使的?（x）在（-∞，-1）上是減函數，并且在（-1，0）上是增函數．
則θ′（-1）=0
∴-4-2（2-λ）=0，∴λ=4．
此時：θ（x）=x⁴-2x²-2，∴θ′（x）=4x³-4x．
由θ′（x）＞0解得，x∈（-1，0）∪（1，+∞）；
由θ′（x）＜0解得，x∈（-∞，-1）∪（0，1）．
故滿足題意．
所以存在λ=4使的?（x）在（-∞，-1）上是減函數，并且在（-1，0）上是增函數．

點評：本題考查的是函數解析式的求法及恒成立知識的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了復合函數的知識、對應系數相等的技巧、導數的知識以及恒成立問題的解答規律．值得同學們體會和反思．