Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜0）的相鄰對稱軸之間的距離為

π

2

，且該函數圖象的一個最高點為(

5π

12

，4)．
（1）求函數f（x）的解析式和單調增區間；
（2）若x∈[

π

4

，

π

2

]，求函數f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件，我們可以分析出函數的最值及周期，進而求出A和ω，代入最大值點坐標，結合φ的范圍，求出φ值，可得f（x）的解析式結合正弦函數的單調性，可求出函數的單調增區間；
（2）由x∈[

π

4

，

π

2

]可得相位角2x-

π

3

的取值范圍，結合正弦函數的圖象和性質可得函數f（x）的值域，進而求出其最值．

解答：解：（1）由題意，函數圖象的一個最高點為(

5π

12

，4)，則A=4，
又∵相鄰對稱軸之間的距離為

π

2

，即T=

2π

ω

=π，得ω=2，
所以f（x）=4sin（2x+φ），…（2分）
再由f(

5π

12

)=4sin(2×

5π

12

+φ)=4，且-

π

2

＜φ＜0，
得φ=-

π

3

，
所以f（x）的解析式為f(x)=4sin(2x-

π

3

)．…（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，…（6分）
得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

(k∈Z)，
所以f（x）的單調增區間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)．…（8分）
（2）因為x∈[

π

4

，

π

2

]，
所以

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，…（10分）
所以，

1

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，…（12分）
2≤4sin(2x-

π

3

)+1≤4，
所以f（x）_max=4，f（x）_min=2．…（16分）

點評：本題考查的知識點是正弦型函數的圖象和性質，由函數的圖象求函數的解析式，熟練掌握正弦型函數的圖象和性質是解答的關鍵．