Question

已知函數．
(1)若直線與的反函數的圖象相切，求實數k的值;
(2)設，討論曲線與曲線公共點的個數;
(3)設，比較與的大小，并說明理由．

Answer 1

(1)
(2)見解析；
(3)

(1)的反函數為．
設直線與的圖象在處相切，則
，解得．
(2)曲線與的公共點個數等于曲線與y=m的公共點個數．
令，則，∴．
當時，，在(0，2)上單調遞減;
當時，，在(2，+∞)上單調遞增，
∴在(0，+∞)上的最小值為．
當時，曲線與y=m無公共點;
當，曲線與y=m恰有一個公共點;
當時，在區間(0，2)內存在，使得，在(2，+∞)內存在，使得．
由的單調性知，曲線與y=m在(0，+∞)上恰有兩個公共點．
綜上所述，當x>0時，
若，曲線與沒有公共點;
若，曲線與有一個公共點;
若，曲線與有兩個公共點．

(3)解法一:可以證明．事實上，


．(*)
令，
則，
(當且僅當x=0時等號成立)，
∴在[0，+∞)上單調遞增，
∴時，．
令，即得(*)式，結論得證．
解法二:

，
設函數，
則，
令，則(當且僅當x=0時等號成立)，
∴單調遞增，
∴當x>0時，，∴單調遞增．
當x>0時，u(x)>u(0)=0．
令，得，
∴，
因此，．