Question

如圖所示，是合肥一中教學(xué)區(qū)示意圖，現(xiàn)有甲乙丙丁4人來校加全國中學(xué)語文十校論壇，4人只能從校門進(jìn)入校園，甲丁必從同一校門進(jìn)校，甲乙丙3人從哪個(gè)校門進(jìn)校互不影響，且每人從任何一校門進(jìn)校都是等可能的．
（Ⅰ）求僅有一人從西大門進(jìn)入學(xué)校的概率；
（Ⅱ）設(shè)4人中從西大門進(jìn)入校園的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）設(shè)隨機(jī)變量η(x)=

3x (ξ≥x，x∈{0，1，2，3}) 4ξ-x (ξ＜x，x∈{0，1，2，3})

，求Eη的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲乙丙3人從哪個(gè)校門進(jìn)校互不影響，且每人從任何一校門進(jìn)校都是等可能的，符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式得到僅有一人從西大門進(jìn)入學(xué)校的概率．
（Ⅱ）由題意知4人中從西大門進(jìn)入校園的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，由題意知ξ的可能取值是0，1，2，3，4，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和互斥事件的概率公式，得到變量的概率，寫出分布列，做出期望．
（Ⅲ）根據(jù)所給的隨機(jī)變量的關(guān)系式，對(duì)x的值進(jìn)行討論，分別求出變量的期望值，把所得的期望值進(jìn)行比較得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）甲乙丙3人從哪個(gè)校門進(jìn)校互不影響，且每人從任何一校門進(jìn)校都是等可能的．
符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
∴僅有一人從西大門進(jìn)入學(xué)校P1=

C

1 2

(

1

3

)1(

2

3

)2=

8

27

，
即僅有一人從西大門進(jìn)入學(xué)校的概率是

8

27

；
（Ⅱ）4人中從西大門進(jìn)入校園的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，由題意知ξ的可能取值是0，1，2，3，4，
根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和互斥事件的概率公式，得到變量的概率，
∴ξ的分布列是：

∴Eξ=0×

8

27

+1×

8

27

+2×

6

27

+3×

4

27

+4×

1

27

=

4

3

（Ⅲ）當(dāng)x=0時(shí)，Eη（0）=0；當(dāng)x=1時(shí)，Eη(1)=

43

27

；
當(dāng)x=2時(shí)，Eη(2)=

66

27

；當(dāng)x=3時(shí)，Eη(3)=

47

27

；
當(dāng)x=4時(shí)，Eη(4)=

36

27

；
綜上有當(dāng)x=2時(shí)，(Eη)max=Eη(2)=

66

27

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式，考查最值問題，是一個(gè)綜合題目，題目運(yùn)算量比較大，．