Question

已知拋物線的焦點為F，以點A（，0）為圓心，為半徑的圓在x軸的上方與拋物線交于M、N兩點。

    （1）求證：點A在以M、N為焦點，且過F的橢圓上。

    （2）設點P為MN的中點，是否存在這樣的a，使得的等差中項？如果存在，求a的值；如果不存在，說明理由。

Answer 1

解析：（1）因為 點A的坐標為（，0），拋物線的焦點為F（a，0），準線為，

    所以 

    所以  以A為圓心，|FA| 為半徑的圓在x軸的上方的方程為

    ，（）

    由

    得 

      設M（），N（）（其中：()均為正數），則有

     

     

    又  拋物線上的點到焦點與準線的距離相等

    所以 

                                           

   

    因為點F、M、N均在⊙A上，

    所以，

       

    因為，且

    所以點A在以M、N為焦點且過F的橢圓上

    （2）假設存在滿足條件的a，則有

    ，即

    設點P的坐標為（），則有

   

    由，得

   

    化簡，得

    所以，與矛盾

    故不存在滿足條件的，即不存在值，使得點P為MN的中點，且|FP|是|FM|與|FN|的等差中項。