Question

已知二次函數y=f（x）的圖象經過坐標原點，其導函數為f′（x）=6x-2，數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=

3

anan+1

，T_n是數列{b_n}的前n項和，求使得Tn＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的最小正整數m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設這二次函數f（x）=ax²+bx（a≠0），根據導函數求得f（x）的表達式，再根據點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上，求出a_n的遞推關系式，
（Ⅱ）把（1）題中a_n的遞推關系式代入b_n，根據裂項相消法求得T_n，最后解得使得Tn＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的最小正整數m．

解答：解：（Ⅰ）設這二次函數f（x）=ax²+bx（a≠0），
則f′（x）=2ax+b，
由于f′（x）=6x-2，得
a=3，b=-2，
所以f（x）=3x²-2x．
又因為點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上，
所以S_n=3n²-2n．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5．
當n=1時，a₁=S₁=3×1²-2=6×1-5，
所以，a_n=6n-5（n∈N^*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(6(n+1)-5)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，
故T_n=

n

i=1

bi=

1

2

[(1-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+…+(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]=

1

2

（1-

1

6n+1

）．
因此，要使

1

2

（1-

1

6n+1

）＜

m

20

（n∈N^*）成立的m，必須且僅須滿足

1

2

≤

m

20

，即m≥10，
所以滿足要求的最小正整數m為10．

點評：本題主要考查二次函數、等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力．