Question

已知數列{a_n}的通項公式為a_n=

2×3n+2

3n-1

（n∈N^?）．
（1）求數列{a_n}的最大項；
（2）設b_n=

an+p

an-2

，求實常數p，使得{b_n}為等比數列；
（3）設m，n，p∈N^*，m＜n＜p，問：數列{a_n}中是否存在三項a_m，a_n，a_p，使數列a_m，a_n，a_p是等差數列？如果存在，求出這三項；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先對數列{an}的通項公式進行變形，由 a_n=

2×3n+2

3n-1

，分析a_n隨n的變化規律再結合n∈N*即可獲得問題的解答．
（2）結合條件充分利用等比數列的性質：等比中項即可獲得含參數的方程，解方程即可獲得參數的值，最后要注意
參數的驗證．
（3）若存在三項a_m，a_n，a_p，使數列a_m，a_n，a_p是等差數列，則2a_n=a_m+a_p，化簡得3ⁿ（2×3^p-n-3^p-m-1）
=1+3^p-m-2×3^n-m（*），由條件可得（*）式不可能成立，故數列{a_n}中不存在三項a_m，a_n，a_p，使數列a_m，a_n，a_p是
等差數列．

解答：解：（1）由題意可得 a_n=

2×3n+2

3n-1

=2+

4

3n-1

，隨著n的增大而減小，所以{a_n}中的最大項為a₁=4．
（2）b_n=

an+p

an-2

=

2+ 4 3n-1 +p

4 3n-1

=

(2+p)(3n-1)+4

4

=

(2+p)3 n+(2-p)

4

，若{b_n}為等比數列，
∴b²_n+1-b_nb_n+2=0（n∈N*），
∴[（2+p）3ⁿ⁺¹+（2-p）]²-[（2+p）3ⁿ+（2-p）][（2+p）3ⁿ⁺²+（2-p）]=0（n∈N*），
化簡得（4-p²）（2•3ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺²-3ⁿ ）=0即-（4-p²）•3ⁿ•4=0，解得p=±2．
反之，當p=2時，b_n=3ⁿ，{b_n}是等比數列；當p=-2時，b_n=1，{b_n}也是等比數列．
所以，當且僅當p=±2時{b_n}為等比數列．
（3）因為am=2+

4

3m-1

，an=2+

4

3n-1

，ap=2+

4

3p-1

，
若存在三項a_m，a_n，a_p，使數列a_m，a_n，a_p是等差數列，則2a_n=a_m+a_p，
所以2(2+

4

3n-1

)=2+

4

3m-1

+2+

4

3p-1

，
化簡得3ⁿ（2×3^p-n-3^p-m-1）=1+3^p-m-2×3^n-m（*），
因為m，n，p∈N^*，m＜n＜p，所以p-m≥p-n+1，p-m≥n-m+1，
所以3^p-m≥3^p-n+1=3×3^p-n，3^p-m≥3^n-m+1=3×3^n-m，（*）的
左邊≤3ⁿ（2×3^p-n-3×3^p-n-1）=3ⁿ（-3^p-n-1）＜0，
右邊≥1+3×3^n-m-2×3^n-m=1+3^n-m＞0，所以（*）式不可能成立，
故數列{a_n}中不存在三項a_m，a_n，a_p，使數列a_m，a_n，a_p是等差數列．

點評：本題考查的是數列與不等式的綜合問題．在解答的過程當中充分體現了數列與函數的思想、數學歸難的思想以及問題轉化的思想．值得同學們體會和反思．