Question

某廣場一雕塑造型結構如圖所示，最上層是一呈水平狀態的圓環，其半徑為2m，通過金屬桿BC，CA₁，CA₂，CA₃支撐在地面B處（BC垂直于水平面），A₁，A₂，A₃是圓環上的三等分點，圓環所在的水平面距地面10m，設金屬桿CA₁，CA₂，CA₃所在直線與圓環所在水平面所成的角都為θ．（圓環及金屬桿均不計粗細）
（1）當θ的正弦值為多少時，金屬桿BC，CA₁，CA₂，CA₃的總長最短？
（2）為美觀與安全，在圓環上設置A₁，A₂，…，A_n（n≥4）個等分點，并仍按上面方法連接，若還要求金屬桿BC，CA₁，CA₂，…，CA_n的總長最短，對比（1）中C點位置，此時C點將會上移還是下移，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據題意設出角度，用設出的角度表示出要求和的最小值的量，表示出金屬桿總長，對函數求導，根據導函數的正負確定函數的單調性，求出函數的極值也就是最值．
（II）表示出總長度函數，對函數求導，根據導函數與0的關系，確定函數的單調性，求出函數的極值，即函數的最值，得到C點的變化．

解答：解：（Ⅰ）設O為圓環的圓心，依題意，∠CA₁O=∠CA₂O=∠CA₃O=θ，
CA₁=CA₂=CA₃=

2

cosθ

，CO=2tanθ，
設金屬桿總長為ym，則y=

6

cosθ

+10-2tanθ=

2(3-sinθ)

cosθ

+10，
（0＜θ＜

π

2

）y′=

2(3sinθ-1)

cos2θ

，
當sinθ＜

1

3

時，y'＜0；當sinθ＞

1

3

時，y'＞0，
∴當sinθ=

1

3

時，函數有極小值，也是最小值．
（Ⅱ）依題意，y=

2n

cosθ

+10-2tanθ=

2(n-sinθ)

cosθ

+10，y′=

2(nsinθ-1)

cos2θ

，
當sinθ＜

1

n

時，y'＜0；當sinθ＞

1

n

時，y'＞0，
∴當sinθ=

1

n

時，函數有極小值，也是最小值．
當n≥4時，

1

n

＜

1

3

，所以C點應上移．

點評：本題考查已知三角函數模型的應用問題，解答本題的關鍵是建立起符合條件的模型，然后再由三角形中的相關知識進行運算，解三角形的應用一般是求距離（長度問題，高度問題等）解題時要注意綜合利用所學的知識與題設中的條件，求解三角形的邊與角．