Question

已知關(guān)于x的方程：log2(x+3)-log4x2=a在區(qū)間（3，4）內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A．[log2

  7

  4

  ，+∞)
• B．(log2

  7

  4

  ，+∞）
• C．(log2

  7

  4

  ，1)
• D．（1，+∞）

Answer 1

分析：當(dāng)3＜x＜4時(shí)，關(guān)于x的方程可化為 1+

3

x

-2^a=0，令f（x）=1+

3

x

-2^a，可得f（3）f（4）＜0，即（2-2^a）（

7

4

-2^a）＜0，解得

7

4

＜2^a＜2，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：當(dāng)3＜x＜4時(shí)，關(guān)于x的方程：log2(x+3)-log4x2=a 即 log2(x+3)-log2x =a，
即 log2

x+3

x

=a，即  1+

3

x

-2^a=0．
令f（x）=1+

3

x

-2^a，由log2(x+3)-log4x2=a在區(qū)間（3，4）內(nèi)有解，
f（x）在區(qū)間（3，4）內(nèi)連續(xù)且單調(diào)遞減，可得f（3）f（4）＜0，
即（2-2^a）（

7

4

-2^a）＜0，解得

7

4

＜2^a＜2，故 log2

7

4

＜a＜1．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．