Question

用黃、藍、白三種顏色粉刷6間辦公室
（Ⅰ） 若每間辦公室刷什么顏色不要求，有多少種不同的粉刷方法？
（Ⅱ）若一種顏色粉刷3間，一種顏色粉刷2間，一種顏色粉刷1間，有多少種不同的粉刷方法？
（Ⅲ）若每種顏色至少用一次，粉刷這6間辦公室，有多少種不同的粉刷方法？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，分析可得每間辦公室都有3種選擇，由分步計數原理計算可得答案；
（Ⅱ）根據題意，先將辦公室分為3組，分別為3間、2間、1間，由組合數公式可得其分組方法，再將3組對應三種顏色，有A₃³種情況，由分步計數原理計算可得答案；
（Ⅲ）先將辦公室分為3組，分別為3-2-1，2-2-2，1-1-4三種情況，再計算其分組的方法，將3組對應三種顏色，計算每種分組方法對應的粉刷方法，進而由分類計數原理計算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根據題意，每間辦公室刷什么顏色不要求，則每間辦公室都有3種選擇，
即共有3×3×3×3×3×3=3⁶=729種情況；
（Ⅱ）根據題意，先將辦公室分為3組，分別為3間、2間、1間，有C₆³C₃²C₁¹種分法，
再將3組對應三種顏色，有A₃³種情況，
由分步計數原理可得，共有C₆³C₃²C₁¹A₃³=360種粉刷方法；
（Ⅲ）若每種顏色至少用一次，先將辦公室分為3組，讓每組用一種顏色，分析可得，有3間、2間、1間，2間、2間、2間，4間、1間、1間，三種分組的方法；
①若分為2間、2間、2間的情況，有

C 2 6 C 2 4 C 2 2

A 3 3

種分法，將3組對應三種顏色，有A₃³種情況，則有

C 2 6 C 2 4 C 2 2

A 3 3

A₃³種粉刷方法，
②若分為3間、2間、1間的情況，有C₆³C₃²C₁¹種分法，將3組對應三種顏色，有A₃³種情況，則有C₆³C₃²C₁¹A₃³種粉刷方法，
③若分為1間、1間、4間的情況，有

C 1 6 C 1 5 C 4 4

A 3 3

種分法，將3組對應三種顏色，有A₃³種情況，則有

C 1 6 C 1 5 C 4 4

A 3 3

A₃³種粉刷方法，
由分類計數原理，可得共有

C 2 6 C 2 4 C 2 2

A 3 3

A

3 3

+

C

3 6

C

2 3

C

1 1

A

3 3

+

C 1 6 C 1 5 C 4 4

A 2 2

A

3 3

=540種方法．

點評：本題考查排列、組合的運用，涉及兩個計數原理的應用，注意（3）中分組涉及平均分組與不平均分組，兩者的公式不一樣．