Question

已知、分別為橢圓：的上、下焦點，其中也是拋物線： 的焦點，點是與在第二象限的交點，且。

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點（1，3）和圓：，過點的動直線與圓相交于不同的兩點，在線段取一點，滿足：，（且）。
求證：點總在某定直線上。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）設由可得由可得⑤×⑦得：，⑥×⑧得：，兩式相加得又點A，B在圓上，且，
所以，即，所以點Q總在定直線上

試題分析：（1）由：知（0，1），設 ，因M在拋物線上，故
 ①      又，則 ②，
由①②解得                  （3分）
橢圓的兩個焦點（0，1），，點M在橢圓上，有橢圓定義可得
 
∴又，∴，橢圓的方程為：    （6分）
（2）設，
由可得：，
即 （9分）
由可得：，
即
⑤×⑦得：
⑥×⑧得：                           （10分）
兩式相加得         （11分）
又點A，B在圓上，且，
所以，
即，所以點Q總在定直線上              （12分）
點評：解題時充分利用拋物線的定義：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，能使解題過程簡化；第二問中的向量關系常轉化為點的坐標關系，證明點在定直線上的主要思路是驗證點的坐標始終滿足于某直線方程