Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB，PB的中點.

   （I）求證：EF⊥CD；

   （II）求DB與平面DEF所成角的正弦值；

   （III）在平面PAD內是否存在一點G，使G在平面PCB上的射影為△PCB的外心，若存在，試確定點G的位置；若不存在，說明理由.

Answer 1

（2）   （3）中點

解析:

以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖）.

      

、

設AD=a，則D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，，0），

       P（0，0，a），F（，，）.

   （I）

      

   （II）設平面DEF的法向量為

       得

       取x=1，則y=－2，z=1.

      

      

       設DB與平面DEF所成角為

   （III）假設存在點G滿足題意

       因為

      

       ∴存在點G，其坐標為（，0，0），即G點為AD的中點