Question

（08年長(zhǎng)寧區(qū)質(zhì)量抽測(cè)理） 在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)定點(diǎn)作直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，如圖，設(shè)動(dòng)點(diǎn)、。

（1）求證：為定值；

（2）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；

（3）是否存在平行于軸的定直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

解析：（1）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，因此（定值）；

當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為：，

由得

因此有為定值。

（2）。

當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，；

當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，由（1）知  因此，

。

綜上，面積的最小值為。

（3）設(shè)存在直線滿足條件。中點(diǎn)，

，因此以為直徑的圓的半徑，

中點(diǎn)到直線的距離，

所截弦長(zhǎng)為：

，

當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)=為定值。這時(shí)直線的方程為。