Question

數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n-n²+3n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）試求λ、μ的值，使得數列{a_n+λn²+μn}為等比數列；
（Ⅱ）設數列{b_n}滿足：，S_n為數列{b_n}的前n項和，證明：n≥2時，．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由數列{a_n+λn²+μn}為等比數列得到當q≠0時，a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=q（a_n+λn²+μn）對?n∈N^*成立，然后把a_n+1=2a_n-n²+3n，代入得到①，所以根據多項式為0的條件解出λ、μ、q的值即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到a_n的通項，代入得到b_n的通項，然后根據列舉s_n得到s_n＜（1）；然后再利用n（n+1）（2n+1）s_n=（1²+2²+3²+…+n²）（+++…+）＞（1+1+1+…+1）²（n個1）=n²即得到（2），綜合（1）（2）得證．
解答：解：（Ⅰ）若{a_n+λn²+μn}為等比數列，
則存在q≠0，使a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=q（a_n+λn²+μn）對?n∈N^*成立．
由已知：a_n+1=2a_n-n²+3n，代入上式，
整理得（q-2）a_n+（λq-λ+1）n²+（μq-2λ-μ-3）n-λ-μ=0①
∵①式對?n∈N^*成立，
∴
解得
∴當λ=-1，μ=1時，數列{a_n+λn²+μn}是公比為2的等比數列；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得：a_n-n²+n=（a₁-1²+1）•2^n-1，即a_n=2^n-1+n²-n
所以
∵
n≥2時，s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1+++…+=（1）
現證：（n≥2）
n≥2時，n（n+1）（2n+1）s_n=（1²+2²+3²+…+n²）（+++…+）＞（1+1+1+…+1）²（n個1）=n²
∴（2）
根據（1）（2）可知＞對于n≥2，n∈N^*都成立．
點評：考查學生會根據已知條件判斷數列是等比數列，會利用數列求和的方法證明不等式．