Question

【題目】已知函數(shù)在處取得極值，且在處的切線的斜率為．

(1) 求的解析式；

(2) 求過(guò)點(diǎn)的切線方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）由函數(shù)在處取得極值，且在處的切線的斜率為，求出導(dǎo)函數(shù)，可得是的兩根，且，解方程組即可求得的值，從而求得的解析式；（2）設(shè)切點(diǎn)，求切線方程，將點(diǎn)切線方程得到，解方程可得，從可得切線斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，進(jìn)而得到所求切線的方程.

試題解析：（1）函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=3ax2+2bx+c， 依題，

又f'（0）=﹣3即c=﹣3 ∴a=1，b=0， ∴f（x）=x3﹣3x

（2）解：設(shè)切點(diǎn)為（x0 ， x03﹣3x0）， ∵f'（x）=3x2﹣3∴切線的斜率為f'（x0）=3x02﹣3，∴切線方程為y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0），

又切線過(guò)點(diǎn)A（2，2），

∴2﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（2﹣x0），

∴2x03﹣6x02+8=0，即為2（x0+1）（x0﹣2）2=0， 解得x0=﹣1或2，

可得過(guò)點(diǎn)A（2，2）的切線斜率為0或9，

即有過(guò)點(diǎn)A（2，2）的切線方程為y﹣2=0或y﹣2=9（x﹣2），

即為y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0 .