Question

已知函數f（x）=cosωx（ω＞0），x∈R．
（1）當ω=2時，求函數f（x）取得最大值時x的集合；
（2）若函數f（x）的圖象過點M(

3π

4

，0)，且在區間[0，

π

2

]上是單調函數，求ω的值；
（3）在（2）的條件下，若f(

π

2

)＜0，畫出函數y=f（x）在[-

π

8

，

5π

8

]上的圖象．

Answer 1

分析：（1）當ω=2時，函數f（x）=cos2x，當函數f（x）=cos2x取得最大值時，由2x=2kπ，k∈Z，求出x的集合．
（2）由f（x）的圖象過點M(

3π

4

，0)，可得cos(

3π

4

ω)=0，又ω＞0，可得 ω=

2

3

(2k+1)，k∈N；經過檢驗，當k=0或1 時，滿足條件，從而得到ω的值．
當k≥2時，不滿足條件．
（3）由（2）知滿足f(

π

2

)＜0的函數為f（x）=cos2x，列表，在坐標系中描點作圖．

解答：解：（1）當ω=2時，函數f（x）=cos2x．   當函數f（x）=cos2x取得最大值時，2x=2kπ，k∈Z，即x=kπ，k∈Z．（2分）
∴當ω=2時，函數f（x）取得最大值時x的集合為{x|x=kπ，k∈Z}．（3分）
（2）∵f（x）的圖象過點M(

3π

4

，0)，
∴cos(

3π

4

ω)=0．（4分） 
又ω＞0，
∴

3π

4

ω=kπ+

π

2

，k∈N，∴ω=

2

3

(2k+1)，k∈N．（5分）
當k=0時，ω=

2

3

，f(x)=cos

2

3

x在區間[0，

π

2

]上是減函數； （6分）
  當k=1時，ω=2，f（x）=cos2x在區間[0，

π

2

]上是減函數；  （7分）
當k≥2時，ω≥

10

3

，f（x）=cosωx在區間[0，

π

2

]上不是單調函數．（8分）
綜上，ω=

2

3

或ω=2．（9分）
（3）由（2）知滿足f(

π

2

)＜0的函數為f（x）=cos2x，列表：

2x	- π 4	0	π 2	π	5π 4
x	- π 8	0	π 4	π 2	5π 8
cos2x	2 2	1	0	-1	- 2 2

（10分）
其在區間[-

π

8

，

5π

8

]上的圖象是：
（12分）

點評：本題主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的圖象特征，余弦函數的單調性和最值的求法，屬于中檔題．