Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為10．
（1）求棱A₁A的長；
（2）若A₁C₁的中點為O₁，求異面直線BO₁與A₁D₁所成角的大小（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設出棱A₁A的長，求出長方體的體積和被截的幾何體的體積，根據條件建立等量關系，求出所求；
（2）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，∠O₁BC即為異面直線BO₁與A₁D₁所成的角（或其補角），在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
解答：解：（1）設A₁A=h，由題設，
得，
即，解得h=3．
故A₁A的長為3．（6分）
（2）因為在長方體中A₁D₁∥BC，
所以∠O₁BC即為異面直線BO₁與A₁D₁所成的角（或其補角）．（8分）
在△O₁BC中，計算可得，
則∠O₁BC的余弦值為，
故異面直線BO₁與A₁D₁所成角的大小為．（14分）
點評：本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及利用余弦定理進行解題等，屬于基礎題．