Question

如圖1，在平面內，ABCD是∠BAD=60°且AB=a的菱形，ADD''A₁和CDD'C₁都是正方形．將兩個正方形分別沿AD，CD折起，使D''與D'重合于點D₁．設直線l過點B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點E是直線l上的一個動點，且與點D₁位于平面ABCD同側，設BE=t（t＞0）（圖2）．
（1）設二面角E-AC-D₁的大小為q，若，求t的取值范圍；
（2）在線段D₁E上是否存在點P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，若存在，求出P分所成的比λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設菱形ABCD的中心為O，以O為原點，對角線AC，BD所在直線分別為x，y軸，建立空間直角坐標系，設BE=t，分別求出平面D₁AC的法向量與平面EAC的法向量，代入向量夾角公式，根據，構造不等式，解不等式即可得到答案．
（2）假設存在滿足題意的點P，令=λ，則可以求出P點的坐標，再根據平面PA₁C₁∥平面EAC，我們可根據•=0，構造方程，解方程即可求出滿足條件的λ的值．
解答：解：（1）設菱形ABCD的中心為O，以O為原點，對角線AC，BD所在直線分別為x，y軸，建立空間直角坐標系如圖．設BE=t（t＞0）．

（1）A（，0，0），C（-，0，0），D₁（0，，a），E（0，，t）
=（-，，a），=（，0，0）
設平面D₁AC的法向量為，
則，
令z₁=1得．
=（-，，t），設平面EAC的法向量為，
則，
令z₂=-a得．
設二面角E-AC-D₁的大小為θ，則cosθ==．
∵∴
∴≤||≤
解得
所以t的取值范圍是．
（2）假設存在滿足題意的點P，
令=λ
則P（0，，）
由平面PA₁C₁∥平面EAC，
得A₁P∥平面EAC，
∴•=0
∴t•-=0，
化簡：λ=（t≠a）
即線段D₁E上存在點P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，P分所成的比λ=（t≠a）；
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，民平面平行的判定，（1）的關鍵是出平面D₁AC的法向量與平面EAC的法向量，代入向量夾角公式，根據，構造不等式，（2）的關鍵是根據•=0，構造方程．