Question

已知a∈R，函數f（x）=x²|x-a|．
（1）當a=2時，求使f（x）=x成立的x的集合；
（2）求函數y=f（x）在區間[1，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a=2代入函數解析式，根據絕對值的符號分為兩種情況，即x＜2和x≥2分別求解對應方程得根，再把所有的根用列舉法表示出來．
（Ⅱ）根據區間[1，2]和絕對值內的式子進行分類討論，即a≤1、1＜a≤2和a≥3三種情況，分別求出解析式和它的導函數，利用導函數的符號判斷在閉區間上的單調性，再求最小值；當a≥3時最小值可能取在區間的兩端，再通過作差和分類進行比較兩個函數值的大小，最后用分段函數表示函數的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由題意，f（x）=x²|x-2|
當x＜2時，由f（x）=x²（2-x）=x，解得x=0或x=1；
當x≥2時，由f（x）=x²（x-2）=x，解得x=1+．
綜上，所求解集為{0，1，1+}
（Ⅱ）設此最小值為m．
①當a≤1時，在區間[1，2]上，f（x）=x³-ax²，
∵f′（x）=3x²-2ax=3x（x-a）＞0，x∈（1，2），
則f（x）是區間[1，2]上的增函數，∴m=f（1）=1-a．
②當1＜a≤2時，在區間[1，2]上，f（x）=x²|x-a|≥0，由f（a）=0知m=f（a）=0．
③當a＞2時，在區間[1，2]上，f（x）=ax²-x³
f′（x）=2ax-3x²=3x（a-x）．
若a≥3，在區間（1，2）上，f'（x）＞0，則f（x）是區間[1，2]上的增函數，
∴m=f（1）=a-1．
若2＜a＜3，則1＜a＜2．
當1＜x＜a時，f'（x）＞0，則f（x）是區間[1，a]上的增函數，
當a＜x＜2時，f'（x）＜0，則f（x）是區間[a，2]上的減函數，
因此當2＜a＜3時，故m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2）．
當2＜a≤時，4（a-2）≤a-1，故m=f（2）=4（a-2），
當＜a＜3時，4（a-2）＜a-1，故m=f（1）=a-1．
總上所述，所求函數的最小值m=．
點評：本題主要用了分類討論的思想解決含有參數的函數求值和求最值問題，分類的標準是絕對值的符號，求閉區間上的最值時，通常是求函數的導數用它的符號判斷函數在區間上的單調性，再求最值，有時需要對端點處的函數值進行作差比較大小．