Question

四棱錐F-ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC=4，BD=2

2

，AE，CF都與平面ABCD垂直，AE=2，CF=4．則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積為（　　）

• A、

  16

  9

  2

• B、

  4

  3

  2

• C、

  2

  9

  2

• D、

  8

  9

  2

Answer 1

分析：根據(jù)題意，先設(shè)EC與AF交與點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OG⊥面ABCD，垂足為G；由圖分析可得，四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分為四棱錐O-ABCD；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和平面的基本性質(zhì)，可得CF、OG、AE兩兩平行且共面；進(jìn)而在平面FCAE中，計算可得OG的值，依題意，易得底面菱形ABCD的面積，由棱錐體積公式，計算可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，設(shè)EC與AF交與點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OG⊥面ABCD，垂足為G；
分析可得，四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分為四棱錐O-ABCD；
依題意，AE，CF都與平面ABCD垂直，OG⊥面ABCD，
可得CF、OG、AE兩兩平行且共面；
又由AE=2，CF=4，
由平行線的性質(zhì)，可得OG=

4

3

，
菱形中，對角線AC=4，BD=2

2

，可得其面積S=

1

2

×2

2

×4=4

2

，
故其體積為

1

3

×

4

3

×4

2

=

16 2

9

；
故選A．

點(diǎn)評：本題考查組合體的體積計算，難點(diǎn)在于分析出其公共部分的形狀，進(jìn)而據(jù)其體積公式進(jìn)行計算，要加強(qiáng)空間想象力的培養(yǎng)．