Question

已知直線l:x+y-2=0,一束光線過點P(0,+1),且以120°的傾斜角投射到l上,經l反射,求反射光線所在直線的方程.

Answer 1

思路解析：本題可以從多個角度思維,故解法較多,下面提供幾種思路供參考:①考慮反射線的傾斜角與三角形外角定理的關系；②由到角公式求反射線的斜率；③考慮反射線的對稱關系,可求某一點P關于l的對稱點；④由y=x是法線,可以聯想到轉化為函數問題求解.

解法一:入射光線所在直線為:y-(+1)=-x,故由得Q(1,1).

由于l的傾斜角為135°,入射光線PQ的傾斜角為120°,∴入射光線與l的夾角為15°,∠QP′x=135°+15°=150°,∴k_QP=-.∴反射光線所在直線的方程為y-1=-(x-1),即x+y-(+1)=0.

解法二:k_入射線=-,k₁=-1.設k_反射線=k,由入射線到l的角等于l到反射線的角得=.解之,得k=-,以下略.

解法三:設P″(x,y)和P(0,+1)關于l對稱,可求得P″(1-,2).

又由得Q(1,1).

由于反射線所在直線過P″和Q點,∴它的方程為=,即x+y-(+1)=0.

解法四:設反射線方程為y-1=k(x-1).在l上取點(2,0),則由該點到反射線、入射線距離相等得k²+4k+=0.解得k₁=-,k₂=-(舍去),以下略.

解法五:由于入射線和l交點Q(1,1),直線y=x過Q且和l垂直,∴入射線和反射線關于直線y=x對稱,利用直線對稱即可求解,以下略.

解法六:由于入射線與反射線關于y=x對稱,則λ射線方程可看成關于y的一次函數,反射線就是其反函數.

∴反射線方程為y+x-(+1)=0.